数学有着严谨的逻辑性，因此，在数学教学中培养逻辑思维能力非常重要。但德国数学家希尔伯特曾说：“要获得科学的认识，某些直观的想象和判断力是不可缺少的先决条件，单凭逻辑是不够的。”在科学研究和数学创造的过程中，非逻辑思维也起到了极其关键的作用，比如直觉、猜想、顿悟等一系列非逻辑思维方式，在科学成果的取得上常常起着方向性和决定性的作用。​

   非逻辑思维是相对于逻辑思维而言的，它是指不受逻辑规则束缚的一类思维方式。直觉、灵感、顿悟、想象等是其主要表现形式。一切创新都始于思维的创新。在思维创新的过程中，有三方面的因素是至关重要的，分别是知识的储备、逻辑思维能力与非逻辑思维能力。而从目前的数学教学来看，前二者受到了广泛重视，非逻辑思维则成为儿童思维中的“短板”。基于这样的理解，我有了在儿童数学教学中培养非逻辑思维的吁求。​

   在现有的数学教学体制下，如何培养非逻辑思维能力？​​

   一、“放纵”儿童的“胡思乱想”​

   由于数学课程的严谨性以及教学进度的限制，我们常常不太欢迎孩子们抛开当下探讨的知识要点，去漫无边际地“胡思乱想”。但事实上，很多胡思乱想对数学教学是非常有价值的，这是因为数学反映着自然科学的最基础的规律性，它经得住最漫无边际的“胡思乱想”，孩子们在“胡思乱想”中会更深刻地领会数学知识和观念，更敬畏数学、热爱数学。而在这种胡思乱想中，他们也不知不觉地锻炼着一种叫做“幻想”的非逻辑思维能力。​

   在三年级下册学习“认识面积”后，有学生问：“老师，我摸一摸头发，头发有面积吗？”得到他    的启发，教室里一下子炸开了锅。“老师，我们刚才研究的都是桌面、地面、黑板面、课本面，这些都是平平的方方的面。那么圆的物体有面积吗？比如篮球有面积吗？”“老师，水有面积吗？血液有面积吗？”“平面图形有面积，立体图形有面积吗？”……​

   孩子们的好奇心使他们开始了对面积的“胡思乱想”，产生的问题成了大家研究的课题。大家围绕“曲面的面积”“立体图形的面积”“特殊物体的面积”等展开，有的用剥橘子的方式验证篮球的面积，用剪易拉罐、拆牙膏盒等方式验证立体图形也有面积，发现一杯水有了水面的面积，如果把很多头发放在一起形成一个面也有面积，不放在一起用放大镜可以看到一根头发也有面积……面积这个概念得到了最充分的理解。​

   面对学生在课堂上的异想，老师不要轻易地压制，要感到这是一次机会，可以带孩子去领略数学的普适性，体会数学的伟大。同时，要知道，幻想是一种跳跃性极高的非逻辑思维方式，虽然与现实条件相去甚远，但它对科学的引领价值极高，很多看似毫无根据的幻想，在多少年后都有可能成为现实。泯灭孩子们的幻想能力，也很可能会扼杀孩子们的想象力和创造力，孩子们是天生的幻想家，对幻想能力的保护是我们各科教师的责任。​​

   二、要鼓励儿童大胆去猜​

   数学需要猜想，数学猜想从本质上看是一种数学想象，是一种常见的数学思维方式。可我们的课堂却常常不太允许孩子们去猜，没有依据就乱说会被老师训斥为“瞎猜”，老师总是让学生们先合理地推导，再说结果。其实，猜想是一种知识间的飞跃性联结，它通过观察和思考现有的一部分条件（而非全部），调动自身的全部知识、经验，通过想象、不受逻辑约束地直接领悟而提出的结论。虽然猜想的准确率不高，但面对一个新问题，可以用猜想做一枚探路石，在不断试错中找到正确方向，最终引领逻辑思维的大部队找到正确结果。猜想还锻炼着孩子们的另一种非逻辑思维能力——直觉，还能影响我们在创造过程中的灵感和顿悟，一个直觉能力强的人，他的灵感来得也快，也更容易让自己找到问题的突破口。​

   在圆的面积公式推导过程中，通过让学生观察正方形的面积是r2，那么圆的面积大约是多少呢？这时可以让学生尽快说出自己的第一感觉，不要求准确，不要求推导的合理性。​

   又如教学“运算律”时，可以让儿童先进行猜想：如果三个数的和乘一个数，是否可以用三个数分别去乘这个数，然后相加呢？那么两个数的差乘一个数是否也可以用这两个数分别乘这个数，然后相减呢？那么如果是两个数的和除以一个数是否也可以这样，两个数的差除以一个数呢？即从乘法分配律猜想有没有“除法分配律”的存在……​

   再如“图形的分割”中，请同学们一上来就猜一猜，如何在正六边形上画一条直线，将它分成面积相等的两部分，有多少种不同的画法？最终引导学生发现中心点的概念，过中心点有无数条直线满足这个要求……​

   猜想是凭自己的感觉，对错都有可能，问题的最终还要靠逻辑思维，但猜想的过程有其独特的不可替代的意义，可以让孩子发展直觉能力，还有很多猜想是半猜半推理的，让猜想与归纳、类比、演绎等逻辑思维方式相结合，以期最终发展成能解决实际问题的全面的思维方式。​​

   三、尽可能给孩子联想的机会​

   联想是一种由此物想到彼物的思维方式，两件物品间必然有一定的关系。当我们的联想能力很强时，同一件物体就能引发更多的联想，而一个联想丰富的人，他解决问题时的思路也一定会更宽广。正如哲学家康德所说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，相似思考（即联想）往往指导我们前进。”​

   比如，在教学认识负数时，让儿童联想：“假如老师把温度计横着放了，你觉得像什么？”尽可能引发孩子们的联想，逐步引导孩子们把温度计联想成数轴。在这个特别的“数轴”上回顾自然数、小数和分数……再仔细观察，你认为在这个“数轴”上还有哪些数？引出负数……​

   再如学习了圆柱的认识后，引导学生总结圆柱、长方体、正方体在研究方法中相似，启发学生联想：只有立体图形知识之间才有同样的方法吗？学生会联想到，长方形和长方体，圆和圆柱体之间也有着密切的联系，等等。​

   通过多维的联想，让儿童能多角度、多方面、多维度地思考问题，联想成为儿童探索发现、不断创造的前提。在培养孩子们联想能力的过程中，最好能让孩子们把联想的东西表达出来，因为对孩子们来讲，默默地思考不是一件轻松的事，外在化、行为化的表达可以加深思维，最终让联想成为一种习惯和能力。同样，这种表达也适用于想象等思维能力的培养。​

   例如，把联想说出来、演出来：在一年级的挑战题中出现“烙饼中的数学问题”，如何让孩子们能生动形象地来理解这个数学问题呢？我让孩子借助生活中原型进行启发：你可以画、可以摆、可以连，想一想有没有办法来解决？结果有的孩子把书当成了操作原型：出现语文饼、数学饼、音乐饼；还出现了圆形、方形、三角形饼；出现了A、B、C饼；边操作边说明，采用“生活实例”为原型，启发联想，深化理解的方法来突破教学难点。​

   也可以把联想画出来。比如我曾经提供给学生一组信息：一条6厘米和一条3厘米的线段，让孩子把自己联想到的图形给画出来。结果学生的联想丰富多彩：​

还可以把联想写出来。如三年级学习了“植树问题”，让学生展开联想，写出哪些问题也是类似问题，学生写出了走楼梯问题、锯木头问题、挂灯笼问题、插彩旗问题等等。​​

   四、多一些空间让想象伸展翅膀​

   挪威数学家索甫斯·李认为数学家的特有的秉性是：“想象力、干劲、自信心、自我批评。”想象力和严谨的数学家有这么大的关系吗？是的，这是因为想象力和数学能力，尤其是数学创造能力的关系非常密切，想象力是指人在已有形象的基础上，在头脑中创造出新形象的能力。这种能力就有创造的成分在，不管在任何行业，只要需要创新，就需要想象力。在教学中，一定要给孩子们更多的时间和空间去想象一些事情。​

   如二年级学生学习“七巧板”，儿童借助各种图形在头脑中形成各种好玩的形象：狐狸、母鸡、雄狮、小猫、乖兔等等，在这个不断的再造意象中，完成了对数学形状概念的理解，得到了视觉分辨的经验，锻炼了视觉记忆的能力。​

   对低年级孩子来讲，在数学学习中，要注重从儿童的直接印象和熟悉的事物入手发挥想象的作用。对中年级的孩子来讲，则要更多地依靠词语进行想象思维，并且要从非逻辑的想象发展到具有内部逻辑性的想象。​

   创造性想象是一种有意识的、主动的想象，它有明确的目的性，即为了什么目的而自觉在脑海里创造一个新形象。比如：学习了平行与相交后，学生根据生活中的实际问题产生了便携斑马线的构想，用纸画成斑马线，需要过马路时，往地上一铺就成了交通标志；还有手提红绿灯，红绿灯提在手上，过马路时打开红灯即可；还有专门为苦恼的人设计的微笑器，为失眠者设计的催眠器等等。​

   想象力是人的一种高级思维能力，是创造的源泉。培养想象力要从小开始，不要嘲笑孩子们任何看似荒诞、不现实的念头；鼓励他们讲出心中的新想法；每个求新、求变的努力都要被教师及时地发现和表彰；提问时不要问出正确答案就草草收场，尽可能多停顿一些时间，等待有新点子的孩子发言，不为了别的，就是为了新，为了和别人不同……​

   总之，非逻辑思维能力在数学、科学上的作用是巨大的，也是被忽视的。很多时候，这些思维能力是敲门砖，是大方向，是突破前的最后一张窗纸，是跨越式成就的最后一步。非逻辑思维能力在儿童数学学习中也起着重要的作用，突破成规与定式，更具创造性。​​

   作者为江苏省常州市武进区星河小学庄惠芬，via人民教育杂志